양팔(윗접시)저울을 이용해서 답을 맞추는 프로그램이다.
주변에 많이 알려진 양팔저울 관련 퀴즈를 직접 해 볼 수 있게 만들었다.
학교에서 실제 저울과 공을 주고 하기에는 어려운 점이 있어서, 스마트폰이나 컴퓨터를 이용해서 직접 해 볼 수 있게 만들어 보았다. 필요하면 각자 논리적으로 정답을 맞추고 앞에 나와서 시연해 보게 할 수 있다.
스마트폰용 앱은 아래 링크 참고
https://play.google.com/store/apps/details?id=air.com.sciencelove.balancequiz
<활용방법>
1-5번까지 문제를 출제하고 제한된 횟수 만에 맞추게 하면 된다. 3번과 5번 문제가 난이도가 높다.
프로그램을 실행하면 정답공에 삼각형 표시가 나타난다. 이건 정답을 맞추는 게임이 아니라, 논리적으로 어떤 공이 다른공과 무게가 다른지 제한된 횟수에 맞출 수 있게 하는게 목표이기 때문에 정답 공이 나타나도 크게 상관은 없다. 참고로 공에 빨간 삼각형이 나타나면 그 공만 무거운 공이고 파란삼각형이 나타나면 그 공만 가벼운 공이다. (필요에 따라서는 정답보기 체크 표시를 꺼서 정답공이 어떤 공인지 모르게 할 수 있다)
학생들이 논리적으로 접근해서 쉽게 맞추면, 제대로 이해했는지 정답 공 교체 버튼을 눌러 같은 방법으로 다른 공도 제한된 횟수만에 맞출 수 있는지 확인해 보게 한다.
위에 나타난 공을 드래그 해서 윗접시 저울 위에 사각형 영역에 끌어다 놓고 측정 버튼을 누르면 측정이 된다. 초기위치는 공들을 원래 위치로 보내는 버튼이고, 다시하기는 처음부터 다시하는 버튼이다. 다시하기를 눌러도 정답 공의 위치는 바뀌지 않는다.
우측상단에 문제선택을 다른 문제를 선택했다 다시 오면 정답공이 바뀐다. 아니면 정답공 교체 버튼을 눌러 직접 정답공을 바꿀 수도 있다.
학생들이 논리적으로 정답을 찾아갈 수 있으면 좋겠다. 참고로 각 문제의 정답은 아래 제시해 놓았다.
<프로그램에 있는 문제 정답>
아래 설명에서 정상으로 판명된 공 번호는 빨간색으로 표시했다.
파란색 번호는 무거운 그룹에서 꺼내온 공을 의미한다.
문1. 공 9개 중 무거운 공 1개를 저울질 2번만에 찾아내기. 다른공은 무게가 모두 같다 <난이도 하>
해설 : 공이 무겁다는 것을 알고 있기 때문에 쉽게 찾을 수 있다.
<풀이>
A그룹(1,2,3) B그룹(4,5,6) C그룹(7,8,9) 3그룹으로 나눈후
A와 B 무게 비교
가) A=B 이면 C그룹에 무거운 공이 있다. 따라서 C그룹에 있는 7번과 8번공 무게를 비교 해서 무거운 공을 찾는다. 만약 7번과 8번공 무게가 같으면 당연히 답은 9번공이 된다.
나) A>B 이면 A그룹 1,2,3번공을 가지고 A<B 이면 B그룹 4,5,6번 공을 가지고 위 가)번처럼 비교하면 된다.
-------
문2. 공 9개 중 무게가 다른 공 1개를 찾고 무거운지 가벼운지를 저울질 3번만에 찾아내기 <난이도 중>
해설 : 9개 공 중에, 하나만 무게가 다르다. 그런데 이 공이 무거운지 가벼운지는 알지 못한다. 무게가 다른공이 가벼운지 무거운지도 알 수 있다.
<풀이>
A그룹(1,2,3) B그룹(4,5,6) C그룹(7,8,9) 3그룹으로 나눈후
가) A와 B 무게 비교
나) A와 C 무게 비교
이렇게 2번 측정하면 무겁거나 가벼운 공이 어떤 그룹에 들어있는지 알 수 있다.
다) 만약 A=B>C 이면 C그룹에 가벼운 공이 들어 있다
만약 A>B=C 라면 A그룹에 무거운 공이 들어 있다.
만약 B>A=C 라면 B그룹에 무거운 공이 들어 있다.
즉 3그룹을 비교하면 두 그룹은 무게가 같고 한 그룹만 무게가 무겁거나 가볍게 된다. 그럼 그 그룹에 있는 3개의 공 중에서 2개만 무게를 비교하면 1번 문제 처럼 어떤 공이 무겁거나 가벼운지 알 수 있다.
만약 A=B>C 이면 C그룹에 가벼운 공이 들어 있으므로 7번공과 8번공의 무게를 비교해서 가벼운 공이 정답이다. 만약 7번공과 8번공의 무게가 같다면 9번공이 가벼운 공이 된다.
-------------------
문3. 공 8개 중 무게가 다른 공 1개를 찾고 무거운지 가벼운지를 저울질 3번 만에 찾아내기 <난이도 상>
해설 : 8개의 공 중에 , 하나만 무게가 다르다 그런데 이공이 무거운지 가벼운지는 알지 못한다. 무게가 다른 공이 무거운지 가벼운지도 알 수 있다.
<풀이>
A그룹(1,2,3) B그룹(4,5,6) C그룹(7,8) 3그룹으로 나눈후
가) A와 B 무게 비교
나) A=B 이면 C그룹에 정답이 있다. 1-6번공은 무게가 모두 같다. 따라서 정답은 7번과 8번공 중에 있다.
1번공과 7번공 무게 비교 1번공과 8번공 무게를 비교해 보면 어떤공이 무게가 다른지 알 수 있다.
다) A>B 이면 C그룹 7번과 8번 공은 정상. 그리고 A에 무거운 공이 있거나 B에 가벼운 공이 있다.
무거운 A그룹에서 1개 가벼운 B그룹에서 1개 를 뽑아 D그룹을 만든다. D그룹(1,4)
무거운 A그룹에서 1개 가벼운 B그룹에서 1개 를 뽑아 E그룹을 만든다. E그룹(2,5)
라) D와 E 무게 비교
D=E이면 각 A와B그룹에서 뽑아낸 1,2번공과 4,5번 공은 정상인 공이다. 그럼 3번6번공 중에 답이 있다.
3번공을 7번공과 비교해 보고 같으면 6번공이 가벼운공,
만약 3번공으로 기울어지면 3번공이 무거운 공임을 알 수 있다.
D>E이면 1번공이 무거운 공이거나 5번공이 가벼운 공이라는 것을 알 수 있다. 2,3,4,6은 정상
(D쪽으로 기울어 졌다는 것은 A그룹에서 뽑아낸 공 가운데 무거운 공이 있거나
B그룹에서 뽑아낸 공 중에 가벼운 공이 있다는 것을 의미한다.)
따라서 1번과 7번공 무게를 비교해 보고 무게가 같으면 5번공이 가벼운공, 한쪽으로
기울어지면 1번 공이 무거운 공이 된다.
D<E이면 2번공이 무거운 공이거나, 4번공이 가벼운 공임을 알 수 있다. 1,3,5,6번공은 정상
2번공을 7번공과 비교해 보고 같으면 4번공이 가벼운공,
만약 2번공으로 기울어지면 2번공이 무거운 공임을 알 수 있다.
-----------------------
문4. 공 10개 중 무게가 다른 공 1개를 찾고 무거운지 가벼운지를 저울질 3번 만에 찾아내기<난이도 중>
<풀이> 2번문제와 푸는 방법은 똑같다.
A그룹(1,2,3) B그룹(4,5,6) C그룹(7,8,9), D그룹(10) 4그룹으로 나눈후
단 A=B=C 일때는 10번 공이 답이 된다. 10번공을 다른공과 비교해 보고 무거운지 가벼운지 알아내면 된다.
나머지는 2번문제와 같은 방법으로 풀면 된다.
---------
문5. 공 12개 중 무게가 다른 공 1개를 찾고 무거운지 가벼운지를 저울질 3번 만에 찾아내기<난이도 상>
해설 : 12개 공 중에, 하나만 무게가 다르다. 그런데 이 공이 무거운지 가벼운지는 알지 못한다. 무게가 다른 공이 무거운지 가벼운지도 알 수 있다.
<풀이>
A그룹(1,2,3,4) B그룹(5,6,7,8) C그룹(9,10,11,12) 3그룹으로 나눈후
가) A와 B 무게 비교
나) A=B 이면 C그룹에 정답이 있다. 1-8번공은 무게가 모두 같다. 따라서 정답은 C그룹 중에 있다.
정상인 1,2,3번공과 C그룹에 9,10,11번공 무게 비교
무게가 같으면 12번 공이 정답. 정상인 1번공과 12번공 무게 비교 12번공이 무거운지
가벼운지 알 수 있다.
어느 한쪽으로 기울어지면 9.10,11번 공에 무겁거나 가벼운 공이 있다는 것을 알 수 있다
예를 들어 9,10,11번 공쪽으로 기울어 지면. 9번공과 10번공 무게 비교해서 같으면 11번공이
무거운 공. 한쪽으로 기울어지면 그 공이 무거운 공이다.
다) A>B 이면 C그룹 9,10,11,12번 공은 정상. 그리고 A에 무거운 공이 있거나 B에 가벼운 공이 있다.
무거운 A그룹에서 2개 정상인 C그룹에서 1개를 뽑아 D그룹을 만든다. D그룹(1,2,9)
무거운 A그룹에서 2개 가벼운 B그룹에서 1개를 뽑아 E그룹을 만든다. E그룹(3,4,5)
라) D와 E 무게 비교
D=E이면 1,2,3,4,5번공은 정상임을 알 수 있다 따라서 B그룹 6,7,8 중에 가벼운 공이 있다.
6번과 7번 무게를 비교해서 올라가는 쪽이 가벼운공, 같으면 8번공이 가벼운 공이 된다.
D>E이면 무거운 A그룹에 속한 1,2번공 중에 무거운 공이 있거나, 가벼운 B그룹에 5번이 가벼운 공이다.
따라서 1번과 2번공을 비교해서 기울어지면 더 무거운 공이 정답, 같으면 5번공이 가벼운 공
D<E이면 3,4번공중에 무거운 공이 있다. 따라서 3번과 4번 공 무게를 비교해서 기울어진 쪽이
무거운 공임을 알 수 있다.
<프로그램에 없는 추가 문제>
프로그램에는 없지만 추가로 문제를 내고 맞춰 보게 하자.
번외문제1. 9개의 금화 주머니가 있고 그안에는 2g의 금화들이 들어있다. 그런데 그 중 1주머니에만 1g의 금화들이 들어 있다고 한다. 전자 저울을 1번만 사용해서 찾아내기
1번째 주머니 1개, 2번째 주머니 2개, 3번째 주머니 3개....9번째 주머니 9개의 금화를 꺼내어 한꺼번에 무게를 단다. 그리고 계산해 보면 어떤 주머니에 금화가 1g인지 쉽게 알 수 있다.
---------------------
번외문제2. 똑같이 생긴 공 여섯개가 있는데 하나만 무게가 다르다. 전자저울을 세번만 써서 진짜 공의 무게와 어떤공이 가짜 공인지, 그리고 가짜공의 무게를 찾아내기
<풀이>
A그룹(1,2,3,4) B그룹(3,4,5) C그룹(2,3) 의 무게를 각각 측정한다.
가). A:B = 4:3 이면 가짜공은 6번공 아니면
나). C:A = 1:2 면 정답은 5번공 아니면
다). B:C = 3:2 이면 정답은 1번공
아직까지 답이 나오지 않았따면 1,5,6은 정상인공이고 무게도 모두 같다.
따라서 B그룹 3,4,5공 중 5번공과 1번공의 무게는 같으므로 B그룹을 1,3,4로 다시 정의할 수 있다.
4. A-B = (1,2,3,4)-(1,3,4) =공2의 무게
5. C-2번공 = (2,3) - 2번공 =공3의 무게
위에서 구한 공2와 공3의 무게가 같다면 1,2,3,5,6번 공은 다 정상인 공이다. 따라서 4번공이 가짜공
6. B-(3번공*2) = 4번공 무게
7. 나머지 공은 3번공과 무게가 같음.
