물컵 안에 얼음이 녹으면 수면 높이는? (부력 이용 문제 및 풀이)

얼음이 떠 있는 물이 가득찬 컵이 있다.
물컵에 얼음이 녹으면 수면 높이는 어떻게 될까? 단 물의 온도는 0°C 로 일정하다고 가정해 보자. 수면이 올라가 물이 넘칠까? 아니면 수면이 줄어 들까?

그냥 간단하게 얼음이 녹아 물이 되면 부피가 감소하기 때문에 수면은 변하지 않는다고 이야기 하면 된다. 

물이 얼어 얼음이 되면 부피가 1.1배 정도 늘어난다.
대부분 물질은 액체에서 고체가 되면 부피가 줄어들지만 물은 예외라 액체에서 고체가 되면 오히려 부피가 증가한다. 그래서 물보다 얼음의 밀도가 작기 때문에 얼음은 물위에 떠 있을 수 있다.

보통 물은 0 °C에서 0.9998 g/cm³정도의 밀도이고, 얼음은 0.9167 g/cm³정도의 밀도를 지닌다.

<우리가 배운 부력을 이용하여 생각해 보자.>

얼음 100g이 고체상태에서 액체상태로  변해도 질량은 변하지 않는다.
즉 얼음 100g 은 물 100g으로 변하게 된다.

얼음 100g이면 무게가 0.98N이 된다. 무게 0.98N 의 얼음을 물위에 떠있게 하려면 부력이 0.98N 작용하고 있어야 한다.
  부력 0.98N이 작용하려면 물체가 물에 잠겨있는 부피만큼의 물의 무게가 0.98N 이 되야 한다. (즉 물에 잠긴 물체의 부피 만큼을 물로 채우면 0.98N이 되야 한다)
따라서 물에 떠 있는 얼음이 다 녹으면 물 0.98N이 차지하는 물의 부피로 바뀌기 때문에 결국 수면의 높이는 변하지 않는다. 얼음이 다 녹아도 물은 넘치지 않는 것이다.

보통 부력의 크기를 측정할 때 물이 가득찬 컵에 물체를 담갔을 때 넘쳐 흐른 물의 무게를 측정해서 알아내기도 한다.

 

<추가로 문제를 풀어보자>

1. 속에 공기가 들어있는 얼음이 물위에 떠 있다가 녹으면 수면은 어떻게 변할까?

2. 속에 물이 들어있는 얼음이 물위에 떠 있다가 녹으면?

3. 속에 철조각이 들어있는 얼음이 물위에 떠 있다가 녹으면?

4. 속에 공기보다 가벼운 헬륨가스가 들어있는 얼음이 물위에 떠 있다가 녹으면?

5. 동그란 얼음을 질량의 변화 없이 배 모양으로 만들어 물에 띄워 놓았다면 얼음이 다 녹았을 때 동그란 얼음이 녹았을 때와 비교하면 수면은 어떻게 변할까?

6. 소금물 위에 증류수로 만든 얼음을 띄워 놓으면?



정답을 보지 말고 일단 생각해 보자.

<정답>  - 나름 정리한 내용이라 혹시 틀린부분이 있을지도... 댓글로 의견 주세요

1, 2, 5번은 수면 높이에 변화가 없고
3번은 수면이 낮아지고
4, 6번은 수면이 높아진다.


문제를 푸는 방법은 얼음 안에 들어있는 물질이 빠져나오고 얼음만 남았을 때 얼음이 물에 더 잠기는지 덜 잠기는지만 따져 주면 된다. 물에 더 잠긴다면 수면은 높아질테고, 물에 덜 잠긴다면 수면은 낮아질 것이다. 그 다음 부터는 그냥 얼음을 물에 띄워 논거랑 같기 때문에 녹아도 수면에는 변화가 없다. 

만약 얼음안에 들어있는 물질이 빠져나와도, 얼음이 물에 잠겨 있는 정도에 변화가 없다면 녹아도 수면은 변하지 않는다.

1번이나 2번은 얼음 한쪽에 구멍을 뚫어도 얼음이 잠긴 정도는 변하지 않는다. 따라서 얼음이 다 녹아도 수면의 높이는 변화가 없다. 얼음 안쪽에 있는 공기나 물이 한쪽 표면으로 이동해서 얼음 표면에서 안쪽으로 구멍이 생기는 순간 얼음이 더 뜨거나 가라앉을 이유가 없기 때문이다. 어차피 구멍을 통해 공기가 있던 자리에 공기가 들어오거나 물이 있던 자리에 물이 들어와도 얼음의 무게나 부력이 변하지 않는다. 

3번의 경우에는 얼음이 녹아 철조각이 빠져 나오면, 철 조각은 물 밑으로 가라앉고, 얼음은 가벼워져서 물위로 떠오르게 된다. 그럼 얼음이 물에 잠긴 부피가 줄어들어 수면은 낮아지게 된다. 이때부터는 그냥 얼음이 물위에 떠 있는 것과 같은 문제가 된다. 얼음이 다 녹아도 처음보다 수면이 낮아지게 되는 것이다. 
(예전에 이 문제를 금속이 들어있는 얼음이라고 낸 적이 있는데 재료공학과 학생으로부터 항의를 받은 적이 있다 물보다 가벼운 금속도 있다는 것이다. 그래서 금속대신 물보다 무거운 철조각으로 바꿔서 문제를 낸다.) 

4번의 경우에는 얼음에 구멍이 나서 헬륨가스가 빠져 나오게 되면 헬륨풍선처럼 약간 떠 있던 얼음은 무거워져서 물속으로 더 잠기게 된다. 그럼 수면은 올라가게 되고, 얼음이 다 녹으면 처음보다 수면은 높아지게 된다. 

5번은 동그란 얼음을 배 모양으로 만들면 더 잘 뜨니까 달라질 것 같지만, 동그란 모양이나 배 모양이나 같은 양의 얼음이기 때문에 무게는 변하지 않는다. 즉 작용하는 부력도 같다. 따라서 모양과 상관없이 수면은 녹아도 수면 높이는 변하지 않는다. 

6번은 소금물은 물보다 밀도가 크기 때문에 같은 부피가 잠겼을 때 물보다 부력이 크다.
즉 얼음이 물에 잠기는 부피보다, 소금물에는 조금만 잠겨도 같은 부력이 생긴다. 따라서 얼음이 다 녹으면 물에 비해 소금물에서는 수면이 증가하게 된다. 

<참고>

빙산의 일각이란 말이 있다. 얼음의 대부분은 물에 잠겨 보이지 않고, 물속에는 엄청나게 큰 빙산이 있다는 의미다. 계산해 보면 물위에 떠 있는 부피는 전체 얼음 부피의 9% 정도 밖에 안된다. 표면에 보이는 빙산을 보고 만만하게 생각하고 배를 타고 가까이 가다가는 큰 낭패를 볼 수 있다. 그런데 북극이나 남극에서 보는 빙산은 바닷물(소금물은 물보다 밀도가 크기 때문에 잠겨 있는 부피가 같아도 부력이 크다.)에 떠 있기 때문에 17% 정도 물 밖으로 떠 보인다고 한다.

<응용> 추리퀴즈 소재로 삼는다면

나중에 추리퀴즈 형태로 만들어 봐야 겠다.
 
1. 용의자가 떠난 후 한참 후에 작동하는 장치를 만들어 보자.

  얼음이 녹으면 물잔이 넘쳐서 작동하는 장치를 만들어야 한다면
  얼음 안에 헬륨가스를 넣어 두거나, 소금물 위에 그냥 얼음을 띄워 두면 된다. 

2. 똑같은 크기의 얼음 들 중에 총알이 숨겨져 있는 얼음을 찾아내고 싶다면

얼음들을 물 위에 띄워 보면 된다. 물위에 떠 있는 얼음들 줄에 더 많이 잠긴 얼음을 골라내면 된다.  총알이 든 얼음이 더 무겁기 때문에 물위에 떠 있으려면 부력이 더 커야 하기 때문에 물 속에 더 많이 잠길 것이다. 

 

저울을 이용한 부력 탐구실험은 아래 링크 참고

https://sciencelove.com/2562
 

저울을 이용한 다양한 부력 실험 탐구