확률적으로 한반에 생일이 같은 학생이 있을 확률은 몇% 나 될까?
한반이 20명일때 40.6%
한반이 25명일때 56.0%
한반이 30명일때 69.6%
한반이 35명일때 80.4%
한반이 40명일때 88.4%
가 된다고 합니다.
컴퓨터로 시뮬레이션 해보니까 거의 맞네요
위 시뮬레이션은 한반에 같은 생일이 몇명 있느냐가 아니라 같은생일이 있는 반이 몇반인가 있느냐의 확률입니다.
즉 인원이 40명인 반 1000반을 조사해 보면 그 중에 884반 정도는 같은생일이 있는 학생이 존재한다는 겁니다.
생각보다 확률이 꽤 높게 나오네요
한반이 23명이라면 생일이 같은 학생이 있을 확률이 약 50%가 되네요.
자신이 속해 있는 동호외나 , 계발활동 학생들 생일을 조사해 보세요.
인원이 23명이라면 두 그룹중 한 그룹에는 같은 생일을 가진학생이 존재할 겁니다.
<풀이방법>
1. 경우의 수를 이용하는 방법
1번째 학생은 365일중 아무 생일이나 가질 수 있고
2번째 학생이 첫번째 학생과 같은 생일을 가질 확률은 1/365 이다. 그럼 첫번째 학생과 두번째 학생이 생일이 다를 확률은 364/365가 된다.
40명의 학생을 순서를 고려하지 않고 임의로 두명씩 뽑아서 비교할 수 있는 확률은 nCr 이므로 780가지가 된다. (1부터 39까지 더한 값이다.)
따라서 서로다른 사람을 780번을 뽑는 동안 생일이 같지 않을 확률은 (364/365)780 이 된다.
계산해 보면 약 0.1176 이 된다.
그렇다면 같은 확률은 1-0.1176이므로 0.8824가 된다. 즉 약 88.4% 정도가 같은 생일을 가진 학급이 나올 수 있다.
2. 순서대로 한명씩 세워서 생일이 다를 확률을 이용하는 법
1번째 학생은 365일중 아무날이나 가져도 되므로 확률은 1이다.
2번째 학생은 첫번째 학생이 가진날을 가지면 안되므로 가질 수 있는 날은 364/365
3번째 학생은 첫번째 두번째 학생과 같은 날을 가지면 안되므로 가질 수 있는 날은 363/365 이다.
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이런식으로 40번째 학생은 가질 수 있는 날이 326/365 가 된다.
서로 생일이 다 달라야 하므로 1번째 학생부터 40번째 학생까지 나올 확률을 곱하면 약 0.1087 이 된다.
따라서 같은 생일이 나올 확률은 0.8913 즉 약 89.13%가 된다.
1번째와 2번째 계산 결과가 약간 차이가 나는 이유는 거듭제곱의 계산에서 나오는 오류라고 생각된다.
<여담>
한반이 40명이라 가정할때 컴퓨터 시뮬레이션 결과 1000반을 검사해 보면 생일이 같은 팀이 2000팀(4000명)정도 나옵니다.
즉 1반당 2팀 정도가 생일이 같다는 얘기지요.
오늘 교실들어가서 확인해 보니 2-3팀 정도가 생일이 같네요. 아이들도 신기해 합니다.
또 한반이 40명이라 가정할때 같은 생일이 있는 반을 시뮬레이션 해보니 1000반 중 약 900반 정도가 생일이 같은 친구가 있는 것으로 나오네요.
시뮬레이션 프로그램도 첨부합니다.