고전적인 문제중 하나다. 누워서 읽는 퍼즐북에도 소개되어 있다.
같은양의 커피와 우유가 든컵이 있다.
커피가 든 컵에서 한숟가락을 우유가 든 컵으로 옮기고 잘 섞어 준다. 그럼 커피에 우유가 약간 섞이게 된다.
그리고 다시 커피와 우유가 섞인 컵에서 한숟가락을 커피가 든 컵으로 옮겨, 두 컵을 같은 양을 만든다.
이때 우유가든 컵에 포함된 커피양과 커피가 든컵에 포함된 우유양 중에 어떤것이 더 많을까?
생각하면 할 수록 복잡해 진다. 수식적으로 접근해 보았으나, 풀릴 듯 풀릴 듯 하면서 풀리지 않는다.
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정답은 같다.
아래 설명을 보지 말고 왜 같은지 논리적으로 설명해 보기 바란다. (난 몇개월 동안을 이해하지 못해 고민했다.)
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직관적으로 알 수 있다고 하는데, 처음에는 이해가 되지 않았다.
그래서 한숟가락을 옮길때 마다 컵속에 있는 내용물의 10%씩 옮겨지는 프로그램도 만들었다.
https://sciencej.cafe24.com/html5/coffeeandmilk/coffeeandmilk.html
프로그램을 돌려 보니 정말 두컵속에 섞여 있는 우유양과 커피양은 항상 같다.
처음에는 잘 이해가 되지 않았다. 다를 것 같은데....
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수식 없이 직관적으로 생각해 보면 바로 답이 나온다. 이걸 이해하는데 꽤 오랜 시간이 걸렸다.
이 문제의 핵심은 우유와 커피의 총량은 변하지 않는 다는 것이다. 그리고 또 하나는 마지막에 비교할때 두 컵의 양이 같다는 것이다.
처음에 커피입자 10개 우유입자 10개가 각각의 컵에 들어있다고 가정해 보자. (접근하기 편하게 양 대신 갯수로 표현해 보겠다.)
그리고 한숟가락씩 교차해서 섞었다면
왼쪽컵에 우유가 8개 커피가 2개 섞여 들어갔다고 가정해 보자. 총양은 10개다.
그렇다면 반대편 잔에도 같은양이 들어있어야 하니까 우유와 커피가 10개가 들어 있을 것이다.
그럼 간단한 수학으로 해결이 가능하다.
커피와 우유의 총양은 변하지 않으니까 반대편 컵에는 당연히 커피가 8개 우유가 2개 들어있어야 한다.
이는 숟가락으로 옮긴 횟수에 상관 없이 양쪽 컵에 섞여 들어간 커피의 양과 우유의 양은 같아진다는 것을 알 수 있다.
너무나 간단한 문제인데, 사실 수식적으로 접근하며서 오랫동안 고민하게 만들었던 문제다
아래 사진을 참고해 보기 바란다. 첫번째 줄은 왼쪽에서 오른쪽으로 옮겼을때
두번째 줄은 오른쪽에서 왼쪽으로 다시 옮겨 왔을때 비교한 모습니다.
마지막 줄은 다양한 경우를 보여주고 있다. 중요한 것은 왼쪽과 오른쪽 컵의 양이 같다면 안에 섞여 들어간 커피의 양이나 우유의 양은 같을 수 밖에 없다는 것이다.
하나의 사고에 매몰되어 있으면 다른 생각을 하기가 힘들다. 결국 프로그램으로 재현해 보다가 이해하게 되었다. 이런 간단한 걸 이해하려고 프로그램까지 만들었다니, 내 자신이 한심하기도 하다.
